Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M和N分别为A1B1和BC的中点．

（1）求证：AC⊥BM；
（2）求证：MN∥平面ACC1A1；
（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意知AC、AB、AA1两两垂直，

如图，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），M（0，1，2），

∵ =（1，0，0）， =（0，﹣1，2），

∴ =0，∴ ⊥ ，

∴AC⊥BM．

（2）证明：∵M（0，1，2），N（ ），A（0，0，0），B（0，2，0），

∴ =（ ）， =（0，2，0），

∴ =0，

∴MN⊥AB，

∵ 是平面ACC1A1的一个法向量，且MN平面ACC1A1，

∴MN∥平面ACC1A1

（3）解：由（2）得 =（ ）， =（0，1，﹣2），

设平面MBN的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（4，2，1），

平面ABN的法向量 =（0，0，2），

cos＜ ＞= = = ，

∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是锐角，

∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值为

【解析】（1）以为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BM．（2）推导出 =0，由 是平面ACC1A1的一个法向量，且MN平面ACC1A1 ， 能证明MN∥平面ACC1A1 ． （3）求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣BN﹣A的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．