题目内容

【题目】设f(x)=alnx+ + x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.

【答案】
(1)解:求导函数可得

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.

∴f′(1)=0,∴

∴a=﹣1;


(2)解:由(1)知, (x>0)

=

令f′(x)=0,可得x=1或x= (舍去)

∵0<x<1时,f′(x)<0,函数递减;x>1时,f′(x)>0,函数递增

∴x=1时,函数f(x)取得极小值为3


【解析】(1) 求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,可得f′(1)=0,从而可求a的值;(2) 由(1)知, (x>0), = ,确定函数的单调性,即可求得函数f(x)的极值.

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