题目内容

（2013•闸北区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F(
3
2
，
1
2
)的距离与到定直线l1：
3
x+y+2=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M0（m，0）（m＞2）的直线l2交曲线C2于A、B两点，已知曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用两点间的距离公式和抛物线的定义可知曲线C1为抛物线，由抛物线C1的对称轴、焦点、准线可知：C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，得出即可；
（2）由于曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称，设出直线l2的斜率可得直线CD的方程，与抛物线方程联立，联立根与系数的关系即可得出弦长|CD|，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）设P（x，y），由题意，可知曲线C1为抛物线，并且有
(x-
3
2
)2+(y-
1
2
)2
=
1
2
|
3
x+y+2|，
化简，得抛物线C1的方程为：x2+3y2-2
3
xy-8
3
x-8y=0．
令x=0，得y=0或y=
8
3
，
令y=0，得x=0或x=8
3
，
∴曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）和(0，
8
3
)，(8
3
，0)．
由题意可知，曲线C1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为y-
1
2
=
1
3
(x-
3
2
)，化为y=
3
3
x．
可知此对称轴过原点，倾斜角为30°．
又焦点F(
3
2
，
1
2
)到l1：y=-
3
x-2的距离为|
3
×
3
2
+
1
2
+2
(
3
)2+12
|=2．
∴C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x-m），则直线CD的方程为y=-
1
k
x+b，
则
y=-
1
k
x+b
y2=4x.
得y2+4ky-4kb=0，
∴△=16k（k+b）＞0①
∴y1+y2=-4k，y1•y2=-4kb，
设弦CD的中点为G（x3，y3），则y3=-2k，x3=k（b+2k）．
∵G（x3，y3）在直线l2上，-2k=k（bk+2k2-m），即b=
m-2-2k2
k
②
将②代入①，得0＜k2＜m-2，
|CD|=
1+(-k)2
•|y1-y2|=
1+k2
•
(y1+y2)2-4y1y2
=4
-(k2-
m-3
2
)2+(
m-1
2
)2

设t=k2，则0＜t＜m-2．
构造函数f(t)=4
-(t-
m-3
2
)2+(
m-1
2
)2
，0＜t＜m-2．
由已知m＞2，当
m-2＞0
m-3＜0
，即2＜m≤3时，f（t）无最大值，所以弦长|CD|不存在最大值．
当m＞3时，f（t）有最大值2（m-1），即弦长|CD|有最大值2（m-1）．
点评：熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、换元法、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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3
2
3
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2
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θ
2n-1
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