Question

3．如果关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集是x＜m或x＞n（其中m＜n＜0），求关于x的不等式cx²-bx+a＞0的解集．

Answer 1

分析 根据题意，由根与系数的关系式，即可求出不等式ax²+bx+c＜0中m、n与a、b与c的关系，
由此求出不等式cx²-bx+a＞0的解集．

解答 解：∵关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集是x＜m或x＞n（其中m＜n＜0），
∴a＜0，且m+n=-$\frac{b}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$；
∴c＜0，
∴关于x的不等式cx²-bx+a＞0可化为x²-$\frac{b}{c}$x+$\frac{a}{c}$＜0，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{m}$•$\frac{1}{n}$=（-$\frac{1}{m}$）•（-$\frac{1}{n}$），
且$\frac{b}{c}$=-$\frac{m+n}{mn}$=-（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=-$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$；
又-$\frac{1}{m}$＜-$\frac{1}{n}$，
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集为（-$\frac{1}{m}$，-$\frac{1}{n}$）．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．