Question

6．若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，且f（x+1）=f（1-x），若f（1）=5，则f（2015）=-5．

Answer 1

分析 由f（-x）+f（x）=0，且f（x+1）=f（1-x），可得函数的奇偶性和周期性，利用周期性和奇偶性进行转化即可．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数，
∵f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2015）=f（504×4-1）=f（-1）=-f（1）=-5，
故答案为：-5

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．