Question

已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）首先令求出首项，.
由两式相减，得即.所以，
数列是首项为2，公比为的等比数列.由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.
（Ⅱ）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（Ⅰ）可得：，.这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.
试题解析：（Ⅰ）由题设知，         2分
由两式相减，得.
所以.           4分
可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。
所以                    6分
（Ⅱ），          8分
.             10分


=.                12分