题目内容

在平面直角坐标系xoy中，动点P到定点(0，
3
)距离与到定直线：y=
4
3
3
的距离之比为
3
2
．设动点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与交于A，B两点，当|
AB
|=
8
2
5
时，求实数k的值．
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有|
OA
|＞|
OB
|.
分析：（1）设P（x，y），则依题意有：
(x-0)2+(y-
3
)2
|y-
4
3
3
|
=
3
2
，化简得x2+
y2
4
=1，由此可求出曲线C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
x2+
y2
4
=1
y=kx+1.
，消去y并理得（k2+4）x2+2kx-3=0．再由根与系数的关系能够推怀出实数k=±1．
（3）由题意知|
OA
|2-|
OB
|2=(
x
2
1
+
y
2
1
)-(
x
2
2
+
y
2
2
)=x12-x22+（kx1+1）2-（kx2+1）2=（x1-x2）[（x1+x2）（1+k2）+2k]=
6k(x1-x2)
k2+4
.由此可知在题设条件下，恒有|
OA
|＞|
OB
|.
解答：解：（1）设P（x，y），则依题意有：
(x-0)2+(y-
3
)2
|y-
4
3
3
|
=
3
2
，化简得x2+
y2
4
=1
故曲线C的方程为x2+
y2
4
=1（4分）
注：若直接用c=
3
，
a
2
 
c
=
4
3
3
，
得出x2+
y2
4
=1，给（2分）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
x2+
y2
4
=1
y=kx+1.

消去y并理得（k2+4）x2+2kx-3=0
故x1+x2=
-2k
k2+4
，x1x2=-
3
k2+4
.（5分）
|
AB
|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k)2(x2-x1)2
，
而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=(
-2k
k2+4
)2+
12
k2+4
=
16k2+48
(k2+4)2

∴
64×2
25
=(1+k2)×
16k2+48
(k2+4)2

化简整理得17k4+36k2-53=0（7分）
解得：k2=1经检验k=±1时方程※的△＞0∴k=±1
（3）|
OA
|2-|
OB
|2=(
x
2
1
+
y
2
1
)-(
x
2
2
+
y
2
2
)=x12-x22+（kx1+1）2-（kx2+1）2=（x1-x2）[（x1+x2）（1+k2）+2k]=
6k(x1-x2)
k2+4
.
因为A在第一象限，故x1＞0．
由x1x2=-
3
k2+4
知x2＜0，从而k＞0.
故|
OA
|2-|
OB
|2＞0，
即在题设条件下，恒有|
OA
|＞|
OB
|.（12分）
点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
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如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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