Question

已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．

(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；

(3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）

（2）g(a)＝（3）

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝作图如下．

(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.

若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.

当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.

当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.

当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1.

当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.

综上可得g(a)＝

(3)当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋－1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1<x2，

则h(x2)－h(x1)＝

＝(x2－x1)＝(x2－x1).

因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)>0.

因为x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，

即ax1x2>2a－1.

当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．

当a>0时，x1x2>，由1<x1x2<4，得≤1，解得0＜a≤1.

当a<0时，x1x2<，由1<x1x2<4，得≥4，解得－≤a＜0.

所以实数a的取值范围为