题目内容
【题目】设双曲线
的方程为
.
（1）设
是经过点
的直线，且和有且仅有一个公共点，求的方程；
（2）设
是的一条渐近线，
、
是上相异的两点.若点
是上的一点，关于点的对称点记为
，关于点的对称点记为
.试判断点是否可能在上，并说明理由.
【答案】（1）
或
或
或
；（2）点
不可能在双曲线
上，理由详见解析.
【解析】
（1）对所求直线分三种情况讨论：①
轴，验证即可；②直线
与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由
求出直线的斜率，可得出直线的方程；③直线与双曲线的渐近线平行，可得出直线的方程.综合可得出所求直线的方程；
（2）假设点在双曲线上，设直线
的方程为
，设点
、
，
，求出点
、的坐标，再将点的坐标代入双曲线的方程验证即可得出结论.
（1）①当直线的斜率不存在时，方程为，显然与双曲线相切，只有一个交点，符合题意，
②当直线的斜率存在且与双曲线相切时，设斜率为
，
则直线的方程为
，即
，
联立方程
，消去
得
，
直线和双曲线有且仅有一个公共点，
，
化简得
，解得
，此时，直线的方程为
，即；
③当直线与双曲线的渐近线平行时，也与双曲线有且仅有一个公共点，
双曲线的渐近线方程为
，
直线的斜率为
，
所以，直线的方程为
或
，即或.
综上所述，直线的方程为或或或；
（2）假设点在双曲线上，
不妨设直线方程为，设点
、
、，
关于点
的对称点记为，点
，
关于点
的对称点记为，点
，
点在双曲线上，
，
，
∴
，
又点在双曲线
上，
，
上式化为
，
，
，即
，
，则
，此式显然不成立，
故假设不成立，所以点不可能在双曲线上.
【题目】时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力。小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考。
附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字1、2、3、4、5表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；
统计表（一）
年份数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“参与”人数（y千人） | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 2.5 | 2.8 |
统计表（二）
高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：
男生 | 女生 | 小计 | |
参加（人数） | 26 | b | 50 |
不参加（人数） | c | 20 | |
小计 | 44 | 100 |
（1）请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数y关于年份数x的线性回归方程
，并预估今年的校运会的“参与”人数；
（2）学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”．如果该校每届校运会的“参与”人数是互不影响的，且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的，并以这6个年份中的“体育活跃年”所占的比例作为任意一年是“体育活跃年”的概率。现从过去许多年中随机抽取9年来研究，记这9年中“体活跃年”的个数为随机变量
，试求随机变量
和方差
；
（3）根据统计表（二），请问：你能否有超过60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？
参考公式和数据一：
，
，
，
参考公式二：
，其中
．
参考数据：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：
中学编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
原料采购加工标准评分x | 100 | 95 | 93 | 83 | 82 | 75 | 70 | 66 |
卫生标准评分y | 87 | 84 | 83 | 82 | 81 | 79 | 77 | 75 |
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）
（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.
参考公式：
，
；
参考数据：
，
.
