题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2
。
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交与A,B两点,以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为,求直线l的方程。
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率,三角形的面积建立方程,结合a2=b2+c2,即可求椭圆C的方程;
(2)联立直线方程与椭圆联立,利用韦达定理表示出及
,结合弦的长度为
,即可求斜率k的值,从而求得直线方程。
解:(1)由椭圆的离心率为
,
得,
.
由得
,
,所以椭圆方程为
.
(2)解:设直线,
,
,
中点
.
联立方程得
,
.
.
所以,
点到直线
的距离为
.
由以线段为直径的圆截直线
所得的弦的长度为
得
,所以
,
解得,所以直线
的方程为
或
.

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