Question

设椭圆的焦点在轴上, 分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆在第一象限内的点，直线交轴于点，
（1）当时，
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）当点P在直线上时，求直线与的夹角;
（2） 当时，若总有，猜想:当变化时，点是否在某定直线上，若是写出该直线方程（不必求解过程）．

Answer 1

（1），（2）．

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线的方程、两直线垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力．第一问，（ⅰ）利用椭圆的定义及离心率列出方程，得到椭圆方程中的基本量a，b，从而得到椭圆的标准方程；（ⅱ）设出P点坐标、设出点坐标，点P在椭圆上且在直线上，得到的值，从而得到和，由于Q点是直线与y轴的交点，所以先得到直线的方程，再得到Q点坐标，从而得到，由于，所以判断F₁P⊥F₁Q；第二问，由第（ⅱ）问的证明，可以猜想方程．
试题解析：（1）（1） ，，，解得＝．故椭圆E的方程为．     4分
（2）设， ，，其中．由题设知，
将直线代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得      6分
则直线F₁P的斜率＝，直线F₂P的斜率＝，
故直线F₂P的方程为y＝．当x＝0时，y＝，
即点Q坐标为．因此，直线F₁Q的斜率为＝．
所以＝＝－1．
所以F₁P⊥F₁Q，                           10分
（2）点P过定直线，方程为         13分