题目内容

在实数集R上定义运算?：x?y=（x+a）（1-y），若f（x）=x²，g（x）=x，若F（x）=f（x）?g（x）．
（1）求F（x）的解析式；
（2）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）若 $数学公式$ ，F（x）的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

解：（1）∵x?y=（x+a）（1-y），f（x）=x²，g（x）=x，
∴F（x）=f（x）?g（x）
=（x²-a）（1-x）
=-x³+x²-ax+a，
（2）∵F（x）=-x³+x²-ax+a，
∴F′（x）=-3x²+2x-a，
∵F（x）在R上是减函数，
∴△=4-12a≤0，解得a $\text{[math]}$ ．
故实数a的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
（3）a= $\text{[math]}$ 时，F（x）=-x³+x²- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
设P（x₁，y₁），Q（ $\text{[math]}$ ，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，
∵ $\text{[math]}$
=[3（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ]＜0，
∴ $\text{[math]}$ =[3（x₁- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ]•[3（（x₂- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]＞0，
∴ $\text{[math]}$ =-1不成立，
∴F（x）的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
分析：（1）由F（x）=f（x）?g（x）=（x²-a）（1-x），能求出F（x）的解析式．
（2）由F（x）=-x³+x²-ax+a，知F′（x）=-3x²+2x-a，由F（x）在R上是减函数，知△=4-12a≤0，由此能求出实数a的取值范围．
（3）a= $\text{[math]}$ 时，F（x）=-x³+x²- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，设P（x₁，y₁），Q（ $\text{[math]}$ ，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，由题设条件能推导出 $\text{[math]}$ =-1不成立，从而得到F（x）的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查两条互相垂直的切线是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．