Question

已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

α1

=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量

α2

=

3 -2

．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；
（Ⅱ）计算A³

-1 4

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立方程，求出A，即可求矩阵A的逆矩阵；
（Ⅱ）（Ⅱ）

-1 4

=2

1 1

-

3 -2

，即可计算A³

-1 4

的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，

c+d=6 3c-2d=-2

，∴

c=2 d=4

.A=

3 3 2 4

．…（2分）
所以A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

…（4分）
（Ⅱ）

-1 4

=2

1 1

-

3 -2

…（5分）
A³

-1 4

=2×63

1 1

-13

3 -2

=

429 434

…（7分）

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．