Question

已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是

1 1

，（1）求矩阵A．（2）

β

=

4 0

，求A⁵

β

．

Answer 1

分析：（1）先设矩阵 A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵A有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵A对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵A．
（2）先求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，进而可求A⁵

β

．

解答：解：（1）设A=

a b c d

，由

a b c d

1 0

=

2 3

得，

a=2 c=3

，

由

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

得，

a+b=3 c+d=3

，所以

b=1 d=0

所以A=

2 1 3 0

．                 7分
（2）A=

2 1 3 0

的特征多项式为f(λ)=

.

λ-2 -1 -3 λ

.

= (λ -3)(λ+1)
令f（λ）=0，可得λ₁=3，λ₂=-1，
λ₁=3时，

α1

=

1 1

，λ₂=-1时，

α2

=

1 -3

令

β

=m

α1

+

α2

，则

β

=

4 0

=3

α1

+

α2

，
A⁵

β

=3×3⁵

α1

-

α2

=

36-1 36+3

…14分．

点评：本题以变换为载体，考查待定系数法求矩阵，正确理解矩阵与变换的关系，合理运用特征值、特征向量是解题的关键．