题目内容

(2012•漳州模拟)本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

(Ⅰ) 求矩阵A;
(Ⅱ) 矩阵B=
1-1
01
,点O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
x=t-3 
y=
3
(t为参数).以直角坐标系xOy中的原点O为 极点,x轴的非负半轴为极轴,圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0,
(Ⅰ) 求l的普通方程及C的直角坐标方程;
(Ⅱ) P为圆C上的点,求P到l距离的取值范围.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知关于x的不等式:|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)根据矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
,可得
a2
1b
 
2
-1
=1•
2
-1
,从而可矩阵A;
(Ⅱ)先计算AB,从而可得点O,M,N变成点O′(0,0),M′(4,0),N′(0,4),即可计算△O'M'N'的面积;(2)(Ⅰ)直线l的参数方程消去参数,可得普通方程,圆C的极坐标方程利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直角坐标方程;
(Ⅱ)化圆的普通方程为标准方程,确定圆心与半径,求出点C到l的距离,从而可求P到l距离的取值范围;
(3)求出|x-1|+|x+2|的最小值,从而|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5对?x∈R恒成立,等价于a2+2|a|-5≤3,由此可求a的取值范围.
解答:解:(1)(Ⅰ)由已知得
a2
1b
 
2
-1
=1•
2
-1
,∴
2a-2=2 
2-b=-1 , 

解得
a=2 
b=3 
,故A=
22
13

(Ⅱ)AB=
22
13
1-1
01
=
20
12

(AB)
0
0
=
20
12
0
0
=
0
0
(AB)
2
-1
=
20
12
2
-1
=
4
0
(AB)
0
2
=
20
12
0
2
=
0
4

即点O,M,N变成点O′(0,0),M′(4,0),N′(0,4),△O'M'N'的面积为
1
2
×4×4=8.
(2)(Ⅰ)直线l的参数方程为
x=t-3①
y=
3
t ②
(t为参数),①×
3
-②,可得普通方程为
3
x-y+3
3
=0,
圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0,化为直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0.…(4分)
(Ⅱ) C的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心C(2,0),半径为1,
点C到l的距离为 d=
2
3
-0+3
3
2
=
5
3
2

∴P到l距离的取值范围是[
5
3
2
-1 ,  
5
3
2
+1]

(3)∵|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,
∴|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5对?x∈R恒成立,等价于a2+2|a|-5≤3,
即(|a|-2)(|a|+4)≤0
∴|a|≤2,
∴a的取值范围是[-2,2].
点评:本题考查矩阵、参数方程与极坐标方程、考查不等式问题,解题的关键是明确方法、掌握公式.
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