Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+a_n+1=2n-1，则S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-1）}{2}，n为偶数}\\{\frac{{n}^{2}-n+2}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 确定奇数项、偶数项均以2为公差的等差数列，可得a_2n-1=2n-1，a_2n=2n-2，再分类讨论，即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=2n-1，
即有a_n-1+a_n=2n-3，n＞1．
两式相减可得，a_n+1-a_n-1=2，
∴奇数项、偶数项均以2为公差的等差数列，
∴a_2n-1=2n-1，a_2n=2n-2，
n=2k时，S_n=$\frac{k（1+2k-1）}{2}$+$\frac{k}{2}$（0+2k-2）
=2k²-k=$\frac{n（n-1）}{2}$；
n=2k-1时，S_n=S_2k-a_2k=2k²-k-2k+2=2k²-3k+2=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-1）}{2}，n为偶数}\\{\frac{{n}^{2}-n+2}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-1）}{2}，n为偶数}\\{\frac{{n}^{2}-n+2}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．