题目内容
【题目】在数列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+2n﹣1.
(1)求证:数列{an+n}为等比数列;
(2)记bn=an+(1﹣λ)n,且数列{bn}的前n项和为Tn , 若T3为数列{Tn}中的最小项,求λ的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵an+1=3an+2n﹣1,
∴an+1+n+1=3(an+n).
又a1=2,
∴an>0,an+n>0,
故 ,
∴{an+n}是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道 ,bn=an+(1﹣λ)n,
∴ .
∴ .
若T3为数列{Tn}中的最小项,则对n∈N*有 恒成立,
即3n+1﹣81≥(n2+n﹣12)λ对n∈N*恒成立
1°当n=1时,有 ;
2°当n=2时,有T2≥T3λ≥9;
3°当n≥4时,n2+n﹣12=(n+4)(n﹣3)>0恒成立,
∴ 对n≥4恒成立.
令 ,则 对n≥4恒成立,
∴ 在n≥4时为单调递增数列.
∴λ≤f(4),即 .
综上,
【解析】(1)由an+1=3an+2n﹣1,整理得:an+1+n+1=3(an+n).由an+n>0, ,可知{an+n}是以3为首项,公比为3的等比数列;(2)由(1)求得数列{bn}通项公式及前n项和为Tn , 由T3为数列{Tn}中的最小项,则对n∈N*有 恒成立,分类分别求得当n=1时和当n=2λ的取值范围, 当n≥4时, ,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得λ的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式,需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.