题目内容

【题目】在数列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+2n﹣1.
(1)求证:数列{an+n}为等比数列;
(2)记bn=an+(1﹣λ)n,且数列{bn}的前n项和为Tn , 若T3为数列{Tn}中的最小项,求λ的取值范围.

【答案】
(1)证明:∵an+1=3an+2n﹣1,

∴an+1+n+1=3(an+n).

又a1=2,

∴an>0,an+n>0,

∴{an+n}是以3为首项,公比为3的等比数列


(2)由(1)知道 ,bn=an+(1﹣λ)n,

若T3为数列{Tn}中的最小项,则对n∈N* 恒成立,

即3n+1﹣81≥(n2+n﹣12)λ对n∈N*恒成立

1°当n=1时,有

2°当n=2时,有T2≥T3λ≥9;

3°当n≥4时,n2+n﹣12=(n+4)(n﹣3)>0恒成立,

n≥4恒成立.

,则 n≥4恒成立,

在n≥4时为单调递增数列.

∴λ≤f(4),即

综上,


【解析】(1)由an+1=3an+2n﹣1,整理得:an+1+n+1=3(an+n).由an+n>0, ,可知{an+n}是以3为首项,公比为3的等比数列;(2)由(1)求得数列{bn}通项公式及前n项和为Tn , 由T3为数列{Tn}中的最小项,则对n∈N* 恒成立,分类分别求得当n=1时和当n=2λ的取值范围, 当n≥4时, ,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得λ的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式,需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.

涓€棰樹竴棰樻壘绛旀瑙f瀽澶參浜�
涓嬭浇浣滀笟绮剧伒鐩存帴鏌ョ湅鏁翠功绛旀瑙f瀽
绔嬪嵆涓嬭浇
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网