Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值。

Answer 1

（1） （2）

（1）证明：连接AO，在中，作于点E，因为，得,
因为平面ABC，所以,因为,
得,所以平面,所以,
所以平面,又,得
(2)如图所示，分别以所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A₁(0.0,2),B(0,2,0)

由（1）可知得点E的坐标为，由（1）可知平面的法向量是，设平面的法向量，
由，得，令，得，即
所以
即平面平面与平面BB₁C₁C夹角的余弦值是。
【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.