题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)将函数求导后,对分成
两种情况,讨论函数的单调性.(2)结合(1)的结论,当
时函数在定义域上递减,至多只有一个零点,不符合题意.当
时,利用函数
的最小值小于零,求得
的取值范围,并验证此时函数有两个零点,由此求得
点的取值范围.
(1)
若,
,
在
上单调递减;
若,当
时,
,即
在
上单调递减,
当时,
,即
在
上单调递增.
(2)若,
在
上单调递减,
至多一个零点,不符合题意.
若,由(1)可知,
的最小值为
令,
,所以
在
上单调递增,
又,当
时,
,
至多一个零点,不符合题意,
当时,
又因为,结合单调性可知
在
有一个零点
令,
,当
时,
单调递减,当
时,
单调递增,
的最小值为
,所以
当时,
结合单调性可知在
有一个零点
综上所述,若有两个零点,
的范围是
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