题目内容

【题目】如图对称轴为坐标轴,焦点均在轴上的两椭圆的离心率相同且均为,椭圆过点且其上顶点恰为椭圆的上焦点.是椭圆上异于的任意一点,直线与椭圆交于两点,直线与椭圆交于两点.

1)求椭圆的标准方程.

2)证明:

3是否为定值?若为定值.则求出该定值;否则,说明理由.

【答案】1;(2)证明见解析;(3)是定值,.

【解析】

1)根据离心率以及椭圆过点,可得的方程,再根据的上顶点椭圆的上焦点,即可得的方程;

2)直线与椭圆方程分别联立,分别利用弦长公式,计算即可得证.

3)先确定直线的斜率与直线的斜率关系,再联立直线与椭圆方程,利用弦长公式计算,化简整理即可得结果.

1)解:因为椭圆的焦点在轴上,离心率为,所以设椭圆的方程为

由椭圆过点,得

解得,所以椭圆的方程为

所以椭圆的方程为

2)证明:由(1)得,设点,直线的斜率为,则直线的方程为

联立

由根与系数的关系,得

设点,联立

由根与系数的关系,得

所以,所以,所以

所以

3)解:由(1)得,由(2)得,设直线的斜率为,则直线的方程为

所以

,得

联立

联立

,得

所以,为定值.

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