题目内容
【题目】如图对称轴为坐标轴,焦点均在轴上的两椭圆,的离心率相同且均为,椭圆过点且其上顶点恰为椭圆的上焦点.是椭圆上异于,的任意一点,直线与椭圆交于,两点,直线与椭圆交于,两点.
(1)求椭圆,的标准方程.
(2)证明:.
(3)是否为定值?若为定值.则求出该定值;否则,说明理由.
【答案】(1),;(2)证明见解析;(3)是定值,.
【解析】
(1)根据离心率以及椭圆过点,可得的方程,再根据的上顶点椭圆的上焦点,即可得的方程;
(2)直线与椭圆方程分别联立,分别利用弦长公式,计算即可得证.
(3)先确定直线的斜率与直线的斜率关系,再联立直线与椭圆方程,利用弦长公式计算与,化简整理即可得结果.
(1)解:因为椭圆,的焦点在轴上,离心率为,所以设椭圆的方程为.
由椭圆过点,得,
解得,所以椭圆的方程为,
所以椭圆的方程为.
(2)证明:由(1)得,设点,,直线的斜率为,则直线的方程为,
联立得,
由根与系数的关系,得.
设点,联立得,
由根与系数的关系,得.
所以,所以,所以,
所以.
(3)解:由(1)得,由(2)得,设直线的斜率为,则直线的方程为.
所以.
由,得,
联立得,
,
.
联立得,
,
.
由,得,
所以,为定值.
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