Question

【题目】已知函数，，其中为常数，函数和的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．

（1）求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；

（3）令，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）分别求出与与y轴和x轴的交点坐标，求出两函数在与坐标轴交点处的导数，由导数值相等求得a的值；

（2）由（1）中求得的a值得到的解析式，代入，把存在使不等式恒成立转化为存在，不等式恒成立，构造函数，，利用导数求其最大值后得答案；

（3）把，代入，去绝对值后得到（），借助于两个辅助函数（），（），证得，，两式联立后得答案．

（1）的图象与轴的交点为，的图象与轴的交点为，

，（），由，，得；

（2）因为，令，，

则，

所以在上是减函数，所以，

因为“存在，使不等式成立”的充要条件是，

所以的取值范围为；

（3）（），

记（），因为，所以在上是增函数，

又因为，所以，，所以，①

记（），因为，所以在上是增函数，在上是减函数，

所以，所以，，所以，②

由①②可得，所以，即．