题目内容
【题目】已知点在抛物线
上,点
是抛物线
的焦点,线段
的中点为
.
(1)若点的坐标为
,且
是
的垂心,求直线
的方程;
(2)若点是直线
上的动点,且
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)2.
【解析】
(1)求得抛物线的焦点和准线方程,求得的斜率,可得
的斜率,设
的方程,联立抛物线方程,运用判别式大于0和韦达定理,运用两直线垂直的条件,可得
的方程,求得
的值,即可得到所求直线方程;
(2)显然最小,必须
垂直于直线
,分别过
,
作
,
垂直直线
,垂足为
,
,运用梯形的中位线定理,以及三点共线取得最小值,即可得到所求最小值.
(1)的焦点
,准线方程为
,
,
为
的垂心,可得
,即有
,
设的方程为
,代入抛物线方程可得:
,可得
,
由,可得
,
,
化简可得,
即为,解得
,
由,可得
,
则的方程为
;
(2)显然最小,必须
垂直于直线
,
分别过作
垂直直线
,垂足为
,
,
等号成立当且仅当三点共线,且
轴,
所以的最小值为2.
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