Question

12．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若一条不与y轴垂直的直线l交椭圆于M，N两点，A为椭圆的下顶点，且|AM|=|AN|，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2））A（0，-1），设直线l的方程为y=kx+m，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀），与椭圆方程联立可得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得P坐标．由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，利用斜率关系可得2m=3k²+1，再利用△＞0，即可得出．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，∴$a=\sqrt{3}，b=1$，c=$\sqrt{2}$．
故椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）A（0，-1），设直线l的方程为y=kx+m，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
线段MN的中点为P（x₀，y₀）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}$，
${y_0}=k{x_0}+m=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$，
∵|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，
∴$\frac{{\frac{m}{{3{k^2}+1}}+1}}{{-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}}}=-\frac{1}{k}$，
∴2m=3k²+1   ①
∵△＞0，∴3k²-m²+1＞0   ②
把①代入②得：0＜m＜2，
又由②得：3k²=2m-1＞0，
∴$m＞\frac{1}{2}$．
综上可得：$\frac{1}{2}＜m＜2$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．