Question

13．函数y=$\sqrt{\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}}$的值域是[0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由根式内部的代数式大于等于0求出x的范围，然后分类利用对勾函数的单调性求出$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$的范围，开方后取并集得答案．

解答 解：由$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}≥0$，得$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$或x≥0，
当x=0时，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=0，则y=0；
当x＞0时，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$∈（0，$\frac{1}{5}$]，则y∈（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]；
当$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$时，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$∈[1，+∞），则y∈[1，+∞）．
综上，函数y=$\sqrt{\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}}$的值域是[0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[1，+∞）．
故答案为：[0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查函数值域的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用“对勾函数”的单调性求函数的值域，是中档题．