Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，0＜x≤4}\\{|x-6|，x＞4}\end{array}\right.$，若方程f（x）=kx+1有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{6}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$）
• D． （-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 在直角坐标系中，分别画出y=f（x）的图象和直线y=kx+1，由题意可得即要求得图象有三个交点的情况．求得直线和曲线y=$\sqrt{x}$相切，以及直线经过点（6，0），由图象，即可得到k的范围．

解答 解：在直角坐标系中，分别画出
y=f（x）的图象和直线y=kx+1，
当直线经过点（6，0）时，
即k=-$\frac{1}{6}$，直线和曲线有两个交点，
当直线与y=$\sqrt{x}$在（0，4]相切，
设切点为（m，$\sqrt{m}$），
由y=$\sqrt{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
切线的斜率为k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
又km+1=$\sqrt{m}$，
解得m=4，k=$\frac{1}{4}$，
要使直线和曲线有三个交点，
则k的范围是（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$），
故选：A．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，主要考查图象的交点个数问题，运用数形结合思想方法是解题的关键．