题目内容
【题目】设 、 为平面向量,若存在不全为零的实数λ,μ使得λ +μ =0,则称 、 线性相关,下面的命题中, 、 、 均为已知平面M上的向量. ①若 =2 ,则 、 线性相关;
②若 、 为非零向量,且 ⊥ ,则 、 线性相关;
③若 、 线性相关, 、 线性相关,则 、 线性相关;
④向量 、 线性相关的充要条件是 、 共线.
上述命题中正确的是(写出所有正确命题的编号)
【答案】①④
【解析】解:若 、 线性相关,假设λ≠0,则 =﹣ ,故 和 是共线向量.
反之,若 和 是共线向量,则 =﹣ ,即λ +μ =0,故 和 线性相关.
故 和 线性相关 等价于 和 是共线向量.①若 =2 ,则 ﹣2 =0,故 和 线性相关,故①正确.②若 和 为非零向量, ⊥ ,则 和 不是共线向量,不能推出 和 线性相关,故②不正确.③若 和 线性相关,则 和 线性相关,不能推出若 和 线性相关,例如当 = 时,
和 可以是任意的两个向量.故③不正确.④向量 和 线性相关的充要条件是 和 是共线向量,故④正确.
所以答案是 ①④.
【考点精析】通过灵活运用向量的共线定理,掌握设,,其中,则当且仅当时,向量、共线即可以解答此题.
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