Question

设定义在R上的函数f（x），且f（x）≠0，满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=2．
（1）求证：f（x）在R上为单调增函数；
（2）解不等式f（3x-x²）＞4；
（3）解方程[f(x)]2+

1

2

f(x+3)=f(2)+1．

Answer 1

分析：（1）设x＞y代入关系式表示出设f（x），令x=x-y代入所的式子，再由题意判断出f（x）、f（y）的大小，进行证明出函数的单调性；
（2）根据f（1）=2和关系式求出f（2）=4，代入不等式，再由（1）的结果列出不等式，进行求解；
（3）利用f（2）=4、f（1）=2，以及关系式求出f（0）和f（3）的值，再把方程进行转化为关于f（x）的二次方程，求出f（x）的值，再利用关系式和函数的单调性，求出函数值的范围，舍去一个值进而求出对应的x的值．

解答：解：（1）设x＞y，∵f（x+y）=f（x）f（y），∴f（x）=

f(x+y)

f(y)

，
令x=x-y，代入上式得，f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
∵x＞y，∴x-y＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，
∵f（x-y）＞1，∴

f(x)

f(y)

＞1，则f（x）＞f（y），
∴f（x）在R上为单调增函数；
（2）∵f（1）=2，f（x+y）=f（x）f（y），∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4，
由于f（3x-x²）＞4，∴f（3x-x²）＞f（2），
又∵f（x）在R上为单调增函数，∴3x-x²-2＞0，解得1＜x＜2，
∴不等式的解集是（1，2）；
（3）令x=0，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵f（1）=2，∴f（0）=1，
令x=2，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（2+1）=f（2）f（1）=8，即f（3）=8，
∴f（x+3）=f（x）f（3）=8f（x），代入[f(x)]2+

1

2

f(x+3)=f(2)+1得，
[f（x）]²+4f（x）-5=0，解得f（x）=1或-5，
令y=-x代入f（0）=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

1

f(x)

，
∵f（x）在R上为单调增函数，f（0）=1；
∴f（x）＞0，则f（x）=-5舍去，故f（x）=1，即x=0，
所以所求的方程解是0．

点评：本题是有关抽象函数的题目，需要根据题意和关系式对变量进行适当的“赋值”，再代入对应的式子进行求解，涉及了用做商法证明函数的单调性以及单调性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．