Question

【题目】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，

【解析】

（Ⅰ）由三角形周长可得，求出，再根据即可写出椭圆标准方程（Ⅱ）假设存在常数满足条件，分两类讨论（1）当过点的直线的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系代入 中化简即可求出.

（Ⅰ）由题意，，，

∵的周长为6，∴

∴，∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）假设存在常数满足条件.

（1）当过点的直线的斜率不存在时，，，

∴ ，

∴当时，；

（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

联立，化简得，

∴，.

∴

∴，解得：即时，；

综上所述，当时，.