Question

【题目】设函数f（x）=x2ex
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，

∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），递减区间为[﹣2，0]．

（2）解：

x	﹣2	（﹣2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）			0	+
f（x）		单减	极小值0	单增	4e2

因此x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值是4e2，

∵x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，

∴m＞4e2

【解析】（1）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出其单调区间即可；（2）先求出f（x）在[﹣1，2]上的单调性，从而求出函数的最大值，即可求m的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．