题目内容
【题目】已知函数.
(1)试讨论的单调性;
(2)证明:对于正数,存在正数
,使得当
时,有
;
(3)设(1)中的的最大值为
,求
得最大值.
【答案】(1)证明过程如解析;(2)对于正数,存在正数
,使得当
时,有
;(3)
的最大值为
【解析】【试题分析】(1)先对函数进行求导,再对导函数的值的符号进行分析,进而做出判断;(2)先求出函数值
,进而分
和
两种情形进行分析讨论,推断出存在
使得
,从而证得当
时,有
成立;(3)借助(2)的结论
在
上有最小值为
,然后分
两种情形探求
的解析表达式和最大值。
证明:(1)由于
,且
,
故在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)因为
,
当时,取
.此时,当
时,有
成立.
当时,由于
,
故存在使得
.
此时,当时,有
成立.
综上,对于正数,存在正数
,使得当
时,有
.
(3)由(2)知在
上的最小值为
.
当时,
,则
是方程
满足
的实根,
即满足
的实根,
所以.
又在
上单调递增,故
.
当时,
,由于
,
故.此时,
.
综上所述, 的最大值为
.
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