Question

12．已知函数f（x）=e^x，g（x）=m-x，m∈R．
（1）记h（x）=f（x）•g（x），求h（x）的极值；
（2）当m=0时，试比较e^f（x-2）与-g（x）的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出函数h（x）的导数，从而得到函数的单调区间，进而求出h（x）的极值；
（2）将m=0代入函数的表达式，x≤0时，显然成立，x＞0时，通过讨论函数的单调性从而得到结论．

解答 解：（1）由已知h′（x）=e^x（-x+m）+e^x（-1）=-e^x[x-（m-1）]，
令h′（x）=0得x=m-1．由下表

x	（-∞，m-1）	m-1	（m-1，+∞）
h′（x）	+	0	-

得h（x）_极大值=h（m-1）=e^m-1，h（x）无极小值；
（2）当m=0时，e^f（x-2）=${e}^{{e}^{x-2}}$，-g（x）=x，
①当x≤0时，显然e^f（x-2）＞-g（x）．
②当x＞0时，lne^f（x-2）=ln${e}^{{e}^{x-2}}$=e^x-2，ln[-g（x）]=lnx，
记函数φ（x）=e^x-2-lnx，则φ′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，可知φ′（x）在（0，+∞）上单调递增．
又φ′（1）＜0，φ′（2）＞0知，φ′（x）在（0，+∞）上有唯一实数根x₀，且1＜x₀＜2，
则φ′（x₀）=${e}^{{x}_{0}-2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0（1）
当x∈（0，x₀）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（x₀，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以φ（x）≥φ（x₀）=${e}^{{x}_{0}-2}$-lnx₀，
结合 （1）式，${e}^{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，知x₀-2=-lnx₀．
故φ（x）≥φ（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2=$\frac{{{（x}_{0}-1）}^{2}}{{x}_{0}}$＞0．
则φ（x）=e^x-2-lnx＞0即e^x-2＞lnx所以${e}^{{e}^{x-2}}$＞x，
综上：e^f（x-2）＞-g（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，不等式的大小比较，是一道中档题．