题目内容
17.在△ABC中,三个内角的对边分别为a,b,c,cosA=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,asinA+bsinB-csinC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$asinB.(1)求B的值;
(2)设b=10,求△ABC的面积S.
分析 (1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦,整理后可求得cosC的值,进而求得C,进而求得sinA和sinC,利用余弦的两角和公式求得答案.
(2)根据正弦定理求得c,进而利用面积公式求得答案.
解答 解:(1)∵$asinA+bsinB-c{sinC}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}asinB$,
∴${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}ab$.
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$.
又∵A、B、C是△ABC的内角,
∴$sinA=\frac{{3\sqrt{10}}}{10},sinC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$.
∵$cos({A+C})=cosAcosC-sinAsinC=\frac{{\sqrt{10}}}{10}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
又∵A、B、C是△ABC的内角,
∴0<A+C<π,
∴$A+C=\frac{3π}{4}$.
∴$B=π-({A+C})=\frac{π}{4}$.
(2)∵$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$,
∴$c=\frac{b}{sinB}×sinC=4\sqrt{10}$.
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×10×4\sqrt{10}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}=60$.
点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.注意对这两个公式的灵活运用来解决三角形问题.
A. | -3 | B. | -2 | C. | -$\sqrt{2c}$ | D. | -$\sqrt{3}$c |