Question

4．（1）已知函数f（x）满足2f（x）+f（-x）=3x+4，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用方程思想求解函数的解析式即可．
（2）由题意设f（x）=ax²+bx+c，a≠0，代入已知式子比较系数可得a、b、c的方程组，解方程组可得函数解析式．

解答 解：（1）函数f（x）对任意的x∈R都满足2f（x）+f（-x）=3x+4，…①，
则2f（-x）+f（x）=-3x+4，…②，
①×2-②可得：3f（x）=9x+4，
可得f（x）=3x+$\frac{4}{3}$．
（2）由题意设f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
则f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c
=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x，
∴2a=2，2b=-4，2a+2c=0，
解得a=1，b=-2，c=-1，
∴f（x）解析式为：f（x）=x²-2x-1．

点评 本题考查函数的解析式的求法，涉及待定系数法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．