题目内容
【题目】如图(1),在平行四边形中,
,
,
,
,
分别为
,
的中点.现把四边形
沿
折起,如图(2)所示,连结
,
,
.
(1)求证:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)取的中点
,连接
,
,
,可证
,
为正三角形,所以
,
,由线面垂直的判定定理可知
平面
,从而证得
;(2)根据勾股定理可证得
,所以
,所以以
为原点,以
,
,
为
,
,
轴建立空间直角坐标系,分别求出平面
的法向量,求出法向量的夹角,由于二面角
为钝角,所以余弦值为负值.
试题解析:(1)取的中点
,连接
,
,
,
∵在平行四边形中,
,
,
,
,
分别为
,
的中点,
∴,
为正三角形,
则,
,
又∵,∴
平面
,
∵平面
,
∴.
(2)∵,
,
,
,
分别为
,
的中点,
∴,
,
,
若,
则,
则三角形为直角三角形,则
,
以为原点,以
,
,
为
,
,
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
则,则
,
,
,
设平面的法向量为
,
则令
,则
,
,
则,
设平面的法向量为
,则
,
令,则
,
,即
,
则,
由于二面角是钝二面角,
∴二面角的余弦值是
.
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