题目内容
已知定义域为R的函数f(x)=
是奇函数.
(1)求a,b的值,并判断f(x)的单调性;
(2)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
b-2x | 2x-a |
(1)求a,b的值,并判断f(x)的单调性;
(2)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
分析:(1)由奇函数性质得:f(0)=0,f(-1)=-f(1),可求出a,b值,根据单调性的定义即可作出判断;
(2)由函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”,变为具体不等式恒成立,从而可转化为函数最值问题解决.
(2)由函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”,变为具体不等式恒成立,从而可转化为函数最值问题解决.
解答:解:(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=-1.
经检验a=-1,b=1符合题意.
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
.
∵x1<x2,∴2x2-2x1>0,又(2x1+1)(2x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)为R上的减函数.
(2)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k),
因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),
又f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,
而3t2-2t=3(t-
)2-
≥-
,
所以k<-
.
又f(-1)=-f(1),得a=-1.
经检验a=-1,b=1符合题意.
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
1-2x1 |
2x1+1 |
1-2x2 |
2x2+1 |
2(2x2-2x1) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∵x1<x2,∴2x2-2x1>0,又(2x1+1)(2x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)为R上的减函数.
(2)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k),
因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),
又f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,
而3t2-2t=3(t-
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
所以k<-
1 |
3 |
点评:本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,考查不等式恒成立问题,关于函数的奇偶性、单调性常利用定义解决,而恒成立问题则转化为函数最值问题.
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