题目内容

20．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是（　　）
A．（$\frac{2}{3}$，+∞）B．（$\frac{4}{3}$，+∞）C．（0，$\frac{2}{3}$）D．（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）

分析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e2-e1的取值范围．

解答 解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|=r1，|PF2|=r2．
由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
∴2.5＜c＜5，
∴e1=$\frac{2c}{10-2c}$=$\frac{c}{5-c}$；e2=$\frac{2c}{10+2c}$=$\frac{c}{5+c}$．
∴e2-e1=$\frac{c}{5-c}$-$\frac{c}{5+c}$=$\frac{2{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{2}{3}$，
故选：A．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

练习册系列答案
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1．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$中，长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为$\frac{3}{5}$．
2．已知直线l的方程是y=x-1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，
（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点．
（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．
8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
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（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．
15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且经过点M（2，$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M关于x轴的对称点为N，P是椭圆上异于M，n的任意一点，若直线MP，NP分别交x轴于点A（m，0），B（n，0），请问mn是否为定值，若是，求出点该定值；若不是，请说明理由．
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（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}$为定值，并求△AOM面积的最小值．
12．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x2的焦点与椭圆$\frac{y^2}{m}$+$\frac{x^2}{2}$=1的一个焦点重合，则m=（　　）
A．$\frac{7}{4}$B．$\frac{127}{64}$C．$\frac{9}{4}$D．$\frac{129}{64}$
9．已知f（x）=（$\frac{1}{2}$）x-log2x在区间（1，$\frac{3}{2}$）内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似数（精度为0.1），则需要将区间对分的次数为（　　）
A．2B．3C．4D．5
10．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过（1）中轨迹E上的点P（1，2）作轨迹E的切线，求切线方程．

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