题目内容
5．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，右焦点为（2$\sqrt{2}$，0），过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆G于点M．（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}$为定值，并求△AOM面积的最小值．
分析 （I）由题意$c=2\sqrt{2}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，又b2=a2-c2，联立解出即可；
（II）对直线l的斜率分类讨论：（1）不存在时直接求出；（2）当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx（k≠0），A（x1，y1），与椭圆方程联立化为（1+3k2）x2=12，即可得出|OA|2，又OM是线段AB的垂直平分线，故方程为$y=-\frac{1}{k}x$，同理可得|OM|2，代入$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}$即可证明为定值．
求△AOM面积时有以下两种方法：方法一：由$\frac{1}{3}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}≥\frac{2}{{|{OA}|•|{OM}|}}$，即可得出；方法二：△AOM的面积$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|$，把（2）代入化简利用基本不等式的性质即可得出．
解答 （I）解：由题意$c=2\sqrt{2}$，
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$a=2\sqrt{3}$，
∴b2=a2-c2=4
∴椭圆G的方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）证明：（1）当直线l垂直于坐标轴时，
易得$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{3}$，
△AOM的面积$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|=2\sqrt{3}$．
（2）当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx（k≠0），A（x1，y1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$消元得（1+3k2）x2=12，
∴${x_1}^2=\frac{12}{{1+3{k^2}}}$，${y_1}^2={k^2}{x_1}^2=\frac{{12{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，
∴${|{OA}|^2}={x_1}^2+{y_1}^2=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{1+3{k^2}}}$，
又OM是线段AB的垂直平分线，故方程为$y=-\frac{1}{k}x$，
同理可得${|{OM}|^2}=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{{k^2}+3}}$，
从而$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}=\frac{{1+3{k^2}}}{{12（1+{k^2}）}}+\frac{{{k^2}+3}}{{12（1+{k^2}）}}=\frac{{4{k^2}+4}}{{12（1+{k^2}）}}=\frac{1}{3}$为定值．
方法一：由$\frac{1}{3}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}≥\frac{2}{{|{OA}|•|{OM}|}}$，所以|OA|•|OM|≥6，
当且仅当|OA|=|OM|时，即1+3k2=k2+3，k=±1时，等号成立，
∴△AOM的面积$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|≥3$．
∴当k=±1时，△AOM的面积有最小值3．
方法二：△AOM的面积$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|$，
∴${S^2}=\frac{1}{4}{|{OA}|^2}•{|{OM}|^2}=\frac{1}{4}×\frac{{12（1+{k^2}）}}{{1+3{k^2}}}×\frac{{12（1+{k^2}）}}{{{k^2}+3}}$=$\frac{{36{{（1+{k^2}）}^2}}}{{（1+3{k^2}）（{k^2}+3）}}≥\frac{{36{{（1+{k^2}）}^2}}}{{{{（\frac{{1+3{k^2}+{k^2}+3}}{2}）}^2}}}$=9．
∴当且仅当1+3k2=k2+3时，即k=±1时，△AOM的面积有最小值3．
点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立根与系数的关系、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | p1=p2 | B． | p1+p2=1 | C． | p1＞p2 | D． | p1＜p2 |
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | 2 | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 4 |
| A． | （$\frac{2}{3}$，+∞） | B． | （$\frac{4}{3}$，+∞） | C． | （0，$\frac{2}{3}$） | D． | （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$） |
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C经过点（0，1）．
已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆左、右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4．设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足．M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图）．| A． | y=$\sqrt{3}x+3\sqrt{3}$+2 | B． | y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$+2 | C． | y=$\sqrt{3}x-3\sqrt{3}$-2 | D． | y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$-2 |