题目内容

【题目】已知函数,其中为常数.

(1)若直线是曲线的一条切线,求实数的值;

(2)当时,若函数上有两个零点.求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

1)设切点 由题意得,解方程组即可得结果;(2)函数上有两个零点等价于,函数 的图象与直线有两个交点,设,利用导数可得函数处取得极大值,结合,从而可得结果.

(1)函数的定义域为

曲线在点处的切线方程为.

由题意得

解得.所以的值为1.

(2)当时,,则

,得,由,得,则有最小值为,即

所以

由已知可得函数 的图象与直线有两个交点,

,可知,所以上为减函数,

,得时,,当时,

即当时,,当时,

则函数上为增函数,在上为减函数,

所以,函数处取得极大值

所以,当函数上有两个零点时,的取值范围是

.

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