题目内容
【题目】已知函数,其中为常数.
(1)若直线是曲线的一条切线,求实数的值;
(2)当时,若函数在上有两个零点.求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设切点, 由题意得,解方程组即可得结果;(2)函数在上有两个零点等价于,函数 的图象与直线有两个交点,设,利用导数可得函数在处取得极大值,结合,,从而可得结果.
(1)函数的定义域为,,
曲线在点处的切线方程为.
由题意得
解得,.所以的值为1.
(2)当时,,则,
由,得,由,得,则有最小值为,即,
所以,,
由已知可得函数 的图象与直线有两个交点,
设,
则,
令,,
由,可知,所以在上为减函数,
由,得时,,当时,,
即当时,,当时,,
则函数在上为增函数,在上为减函数,
所以,函数在处取得极大值,
又,,
所以,当函数在上有两个零点时,的取值范围是,
即.
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