题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)若直线是曲线
的一条切线,求实数
的值;
(2)当时,若函数
在
上有两个零点.求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设切点, 由题意得
,解方程组即可得结果;(2)函数
在
上有两个零点等价于,函数
的图象与直线
有两个交点,设
,利用导数可得函数
在
处取得极大值
,结合
,
,从而可得结果.
(1)函数的定义域为
,
,
曲线在点
处的切线方程为
.
由题意得
解得,
.所以
的值为1.
(2)当时,
,则
,
由,得
,由
,得
,则
有最小值为
,即
,
所以,
,
由已知可得函数 的图象与直线
有两个交点,
设,
则,
令,
,
由,可知
,所以
在
上为减函数,
由,得
时,
,当
时,
,
即当时,
,当
时,
,
则函数在
上为增函数,在
上为减函数,
所以,函数在
处取得极大值
,
又,
,
所以,当函数在
上有两个零点时,
的取值范围是
,
即.

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