题目内容
【题目】(本题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求点D到平面PBC的距离;
(2)设Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求二面角B-CQ-D的余弦值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析:(1)利用等体积法即可;
(2)建立空间直角坐标系,利用换元法可得,再结合函数
在
上的单调性,计算即得结论.
详解:(1)S△BCD=BC×AB=
, 由于PA⊥平面ABCD,从而PA即为三棱锥P-BCD的高,故VP-BCD=
S△BCD×PA=
.
设点D到平面PBC的距离为h.
由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC,又由于BC⊥AB,故BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.
由于BP==
,所以S△PBC=
BC×PB=
.故VD-BCP=
S△BCP×h=
h
因为VP-BCD=VD-BCP,所以h=.
(2)以{,
,
}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
设=λ
,(0≤λ≤1)
因为=(-1,0,2),所以
=(-λ,0,2λ),
由=(0,-1,0),得
=
+
=(-λ,-1,2λ),
又=(0,-2,2),
从而cos〈,
〉=
=
.
设1+2λ=t,t∈[1,3],
则cos2〈,
〉=
=
≤
.
当且仅当t=,即λ=
时,|cos〈
,
〉|的最大值为
.
因为y=cos x在上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.
又因为BP==
,所以BQ=
BP=
.
=(0,-1,0),
=(1,1,-2)
设平面PCB的一个法向量为m=(x,y,z),
则m·=0,m·
=0,
即得: y=0,令z=1,则x=2.
所以m=(2,0,1)是平面PCB的一个法向量.
又=
+
=(-λ,-1,2λ)=(-
,-1,
),
=(-1,1 ,0)
设平面DCQ的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·
=0,
即取x=4,则 y=4,z=7,
所以n=(4,4,7)是平面DCQ的一个法向量.
从而cos〈m,n〉==
,
又由于二面角B-CQ-D为钝角,所以二面角B-CQ-D的余弦值为-.
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