题目内容
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)左、右焦点分别为F1 , F2 , A(2,0)是椭圆的右顶点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3;
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l与椭圆交于两点M,N(M,N不同于点A),若
=0,
=
;
①求证:直线l过定点;并求出定点坐标;
②求直线AT的斜率的取值范围.
【答案】
(1)
解:由题意可知:a=2,
令x=c,代入椭圆方程,解得:y= ,则丨PQ丨=
=3,
则b= ,
∴椭圆的标准方程为:
(2)
解:①当直线MN斜率不存在时,设lMN:x=m,
则 ,解得:y=
,则丨MN丨=2
,
设直线MN与x轴交于点B,丨丨MB=丨AM丨即 =2﹣m,
∴m= 或m=2(舍),
∴直线lMN过定点( ,0);
当直线MN斜率存在时,设直线MN斜率为k,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN:y=kx+b,
与椭圆方程 ,联立,消取y整理得(4k2+3)x2+8kbx+4k2﹣12=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
△>0,k∈R,
=0,(x1﹣2,y1)(x2﹣2,y2)=0,
即x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2=0,
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= ,
∴7b2+4k2+16kb=0,则b=﹣ k,或b=﹣2k,
∴lMN:y=k(x﹣ )或y=k(x﹣2),
∴直线lMN过定点( ,0)或(2,0);
综合知,直线过定点( ,0);
②T为MN中点,T( ,
),则T(﹣
,
),
∴kAT= =
,
由b=﹣ ,则kAT=
,
当k=0时,kAT=0,
当k≠0时,k∈R,kAT= =
,
由8k+ ≥2
=2
,
或8k+ ≤﹣2
=﹣2
,
∴kAT∈[﹣ ,
],
直线AT的斜率的取值范围为[﹣ ,
]
【解析】(1)由a=2,则椭圆的通径丨PQ丨= ,代入即可求得b的值,即可取得椭圆的方程;(2)当直线MN斜率不存在时,将x=m代入椭圆方程,则
=2﹣m,即可求得m的值,即可求得直线恒过定点;当斜率存在,设直线方程y=kx+b,代入椭圆方程,由韦达定理,向量的坐标运算,即可求得b=﹣
k,或b=﹣2k,即可求得直线方程,则直线过定点(
,0);(3)利用中点坐标公式求得T坐标,利用直线的斜率公式,kAT=
=
,分类当k=0,kAT=0,当k≠0时,利用基本不等式的性质,即可求得直线AT的斜率的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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