Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）求当时， 恒成立的的取值范围，并证明

.

Answer 1

【答案】(1)ae （2）见解析

【解析】试题分析：(1) 函数有两个不同的零点，等价于=在

（，+）上有两实根，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可得结果；（2）结合(1)可得<,令,

,各式相加，化简即可得结果.

试题解析：(1) f(x)有两个零点， 在（，+）上有两实根，显然a

=,令g(x)= , g/(x)= ,令g/(x)=0，x

∴g(x)在（0， ）单调递增，在（，+）单调递减，又g()=,x>1时g(x)>0.且 g(x) 0

∴= 有两根须0<<, ∴ae

（2）x2-alnx0恒成立，即x2>2alnx对x>1恒成立.当a时，显然满足。

当a>时, >,由（1）知，(g(x))MAX=,, ∴0＜a＜e

综上x2-alnx0对x>1恒成立的a的范围为a＜e

令a=2，则x2-2lnx0对x>1恒成立，即lnx<x2,令x=,k=2,3,4,…，n

lnk<k,ln2, ln3, ln4,…，lnn<n,

∴ln2+ ln3+ ln4+…+ lnn<= .