题目内容
【题目】 如图所示的几何体中, ,
平面
,且
平面
,正方形
的边长为2,
为棱
中点,平面
分别与棱
交于点
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求的长.
【答案】(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)2.
【解析】
(1)利用线面平行判定定理证得平面
,再利用线面平行性质定理证得
;
(2)证明直线平面
,即证明
垂直平面
内的两条相交直线
;
(3)建立空间直角坐标系,设,由
,求得
。
(1)证明:因为为正方形,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
因为平面平面
,
平面
,
所以.
(2)证明:因为平面
,所以
.
因为是正方形,所以
,又
,
所以平面
,所以
.
因为为棱
中点,且
,
所以,又
,
所以平面
,又
平面
,
所以平面平面
.-
(3)如图所示,以分别
轴建立空间直角坐标系,
因为,所以
,
,则
因为,
设,且
,则
,
由(2)可知平面
,
平面
,所以
,
所以,即
,
所以.
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