题目内容
已知正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1 |
8 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
8 |
an•an+1 |
分析:(I)将已知的Sn=
(a n+2)2中的n用n-1代替,仿写一个新的等式,两个式子相减,变形得到项的递推关系,利用等差数列的定义判断出是一个等差数列,利用等差数列 通项公式求出通项.
(II)将an代入bn=
,将其裂成两项的差,,利用裂项求和求出Tn,列出关于m的不等式,求出m的范围.
1 |
8 |
(II)将an代入bn=
8 |
an•an+1 |
解答:解:(I)∵Sn=
(an+2)2,
∴Sn+1=
(an+1+2)2,
两式相减得8an+1=an+12-an2+4an+1-4an,∴an+12-an2-4an+1-4an=0,
∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0,
又{an}是正数数列,
∴an+1-an-4=0,
∴an+1-an=4,
∴{an}是等差数列.
∵S1=
(a1+2)2,
∴a1=2,
∴an=4n-2,(n∈N*).
(II)∵an=4n-2,
∴bn=
=
-
,
∴Tn=b1+b2+…+bn=1-
+
-
+…+
-
=1-
,
∴对一切n∈N*,必有Tn<1.
故令m2-m-5≥1,
∴m≤-2或m≥3,又m>0,
∴m≥3.
1 |
8 |
∴Sn+1=
1 |
8 |
两式相减得8an+1=an+12-an2+4an+1-4an,∴an+12-an2-4an+1-4an=0,
∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0,
又{an}是正数数列,
∴an+1-an-4=0,
∴an+1-an=4,
∴{an}是等差数列.
∵S1=
1 |
8 |
∴a1=2,
∴an=4n-2,(n∈N*).
(II)∵an=4n-2,
∴bn=
2 |
(2n-1)(2n+1) |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
∴Tn=b1+b2+…+bn=1-
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+1 |
∴对一切n∈N*,必有Tn<1.
故令m2-m-5≥1,
∴m≤-2或m≥3,又m>0,
∴m≥3.
点评:解决数列的通项与前n项和有关的问题,一般通过仿写得到新等式,两个式子相减得到关于通项的递推关系再解决;解决数列的求和问题,一般先根据通项的特点选择合适的求和方法.
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