题目内容

【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.

【答案】
(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,

∴OM∥VB,

∵VB平面MOC,OM平面MOC,

∴VB∥平面MOC


(2)证明:∵AC=BC,O为AB的中点,

∴OC⊥AB,

∵平面VAB⊥平面ABC,OC平面ABC,

∴OC⊥平面VAB,

∵OC平面MOC,

∴平面MOC⊥平面VAB


(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1,

∴SVAB=

∵OC⊥平面VAB,

∴VCVAB= SVAB=

∴VVABC=VCVAB=


【解析】(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC;(2)证明:OC⊥平面VAB,即可证明平面MOC⊥平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.

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