Question

8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列．
（1）比较$\sqrt{\frac{b}{a}}$与$\sqrt{\frac{c}{b}}$的大小，并证明你的结论；
（2）求证：角B不可能是钝角．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，整理即可得到结果；
（2）由等差数列的性质列出关系式，表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式判断cosB的正负，即可做出判断．

解答 解：（1）∵a，b，c任意两边长均不相等，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$＞$\frac{2}{\sqrt{ac}}$，即$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{\sqrt{ac}}$，
则$\sqrt{\frac{c}{b}}$＞$\sqrt{\frac{b}{a}}$；
（2）∵$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴b=$\frac{2ac}{a+c}$，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{（{a}^{2}+{c}^{2}）（a+c）^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}}{2ac（a+c）^{2}}$≥$\frac{2ac•4ac-4{a}^{2}{c}^{2}}{2ac（a+c）^{2}}$=$\frac{4ac-2ac}{（a+c）^{2}}$=$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$＞0，
则B不可能为钝角．

点评 此题考查了余弦定理，以及数列的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．