Question

已知函数f（x）的图象与函数g（x）=2^x关于直线y=x对称，令h（x）=f（1-|x|），则关于函数h（x）有以下命题：
（1）h（x）的图象关于原点（0，0）对称；   
（2）h（x）的图象关于y轴对称；
（3）h（x）的最小值为0；               
（4）h（x）在区间（-1，0）上单调递增．
中正确的是

②④

．

Answer 1

分析：由条件可得f（x）与函数g（x）=2^x 互为反函数，故f（x）=log₂x，可得h（x）=f（1-|x|）的解析式，由此可得它的图象的对称性、函数的单调性以及最值，从而得出结论．

解答：解：由于函数f（x）的图象与函数g（x）=2^x关于直线y=x对称，故函数f（x）与函数g（x）=2^x 互为反函数．
故函数f（x）=log₂x．
∴h（x）=f（1-|x|）=log₂（1-|x|），故函数h（x）是偶函数，图象关于y对称，故（2）正确而（1）不正确．
函数h（x）的定义域为（-1，1），在（-1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，故（4）正确．
故当x=0时，函数h（x）取得最大值为 0，故（3）不正确．
故答案为 ②④．

点评：本题主要考查反函数的定义和图象性质，函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题．