题目内容
【题目】过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为 
的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5． 
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足 
=λ（ 
+ 
）（λ＞0），求λ的取值范围．
【答案】
（1）解：设直线方程为y= 
x+ 
，
代入x2=2py，可得x2﹣ p﹣p2=0，∴x=2p或﹣ ，
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，
∴2p+ =5，
∴p=2，
∴抛物线L的方程x2=4y
（2）解：∵直线与圆相切，
∴ 
=1，
∴k2=t2+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k，y1+y2=4k2+2t
由 
=λ（ 
+ 
）=（4kλ，（4k2+2t）λ）
得C（4kλ，（4k2+2t）λ）
∵点C在抛物线x2=4y上，
∴16k2λ2=4（4k2+2t）λ，
∴λ=1+ 
=1+ 
∵t＞0或t＜﹣3，
∴2t+4＞4或 2t+4＜﹣2
∴λ的取值范围为（ 
，1）∪（1， 
）
【解析】（1）设直线方程为y= x+ ，代入x2=2py，求出P的坐标，利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线L的方程；（2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足 =λ（ + ）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
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