Question

【题目】设数列{an}满足a1=2， ；数列{bn}的前n项和为Sn ， 且 ． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{an}和{bn}的公共项从小到大排成新数列{cn}，试写出c1 ， c2 ， 并证明{cn}为等比数列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，an=[（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1=（2n﹣1+2n﹣2+…+2）+2=2n

又因为a1=2，

所以数列{an}的通项公式为 ．

因为 ，所以，

两式做差可得bn=3n﹣2，且b1=S1=1也满足此式，

所以bn=3n﹣2；

（Ⅱ）由 ，bn=3n﹣2，可得c1=4=a2=b2，c2=a4=b6=16．

假设 ，

则3m﹣2=2k．

所以 ，不是数列{bn}中的项；

=3（4m﹣2）﹣2，是数列中的第4m﹣2项．

所以cn+1=b4m﹣2= ，

从而 ．

所以{cn}是首项为4，公比为4的等比数列．

【解析】（Ⅰ）根据题意，对于数列{an}，由递推公式可得an=[（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1，计算即可得数列{an}的通项公式，对于数列{bn}，有Sn公式表示出 ，两式相减可得bn=3n﹣2，验证b1即可得答案；（2）根据题意，由数列{an}和{bn}的通项公式分析两个数列的相同项，可得新数列{cn}的通项公式，由等比数列的定义分析可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比关系的确定的相关知识，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．