Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（1）设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
（2）设cn= ，数列{cncn+2}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=1﹣ ，bn= ，

∴bn+1﹣bn=﹣ ﹣ = ﹣ = ﹣ =2（常数），

∴数列{bn}是等差数列．

∵a1=1，

∴b1=2，bn=2+（n﹣1）×2=2n，

由bn=2n，∴ =2n，

得an=

（2）证明：由cn= = = ，

∴cncn+2= =2 ，

∴数列{cncn+2}的前n项和为Tn=2 +

=2

=3﹣ ＜3．

∴Tn＜3

【解析】（1）由an+1=1﹣ ，bn= ，只要证明：bn+1﹣bn=常数即可得出，再利用等差数列的通项公式即可得出bn ． （2）由cn= = ，可得cncn+2= =2 ，利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．
【考点精析】通过灵活运用等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．