题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率
，且椭圆过点
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线
与交于
、
两点，点
在椭圆上，
是坐标原点，若
，判定四边形
的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）是定值，其定值为
.
【解析】
（1）设椭圆
的焦距为
，根据题意得出关于
、
、
的方程组，求出
和
的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）对直线
的斜率是否存在进行分类讨论，当直线
轴时，可得出直线的方程为
，可求出四边形
的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，设点
、
，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点
的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程得出
，计算出
以及原点
到直线的距离，通过化简计算可得出四边形的面积为，进而得证.
（1）设椭圆的焦距为，由题意可得
，解得
，
，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线
的方程为
或
.
若直线的方程为，联立
，可得
，
此时，
，四边形的面积为
，
同理，当直线的方程为时，可求得四边形的面积也为；
当直线的斜率存在时，设直线方程是，
代人到，得
，
，
，
，
，
，
点到直线的距离
，
由
，得
，
，
点在椭圆上，所以有
，整理得
，
由题意知，四边形为平行四边形，
平行四边形的面积为
.
故四边形的面积是定值，其定值为.
【题目】目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.
现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
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废纸投放量（吨） | 5 | 5.1 | 5.2 | 4.8 | 4.9 |
塑料品投放量（吨） | 3.5 | 3.6 | 3.7 | 3.4 | 3.3 |
（Ⅰ）从
这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
（Ⅱ）从这5个小区中任取2个小区，记
为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求的分布列及期望．
